Soma dos termos de uma PG Infinita

 Quando temos uma PG decrescente (0<q<1) podemos dizer que esta tem infinitos termos.
- Ué? Como assim?
Veja no exemplo a PG de primeiro termo igual a 4 e razão q=1/2:

Note que a cada termo que passa vai diminuindo mais e mais, chegando quase perto de zero. O termo a₁₂ que vale 1/512 passando para decimais vale quase 0,002, e o termo a₁₃ é mais ou menos 0,001, quanto mais alta a ordem do termo mais perto de zero ele chega, passando a ser insignificante na soma final.
Por isso que podemos fazer a soma de todos os termos desta PG, mesmo ela tendo um número infinito de termos.
Vamos fazer a dedução da fórmula começando com a fórmula da soma dos "n" primeiros termos:

	Sabemos que a razão de uma PG infinita tem que ser 1<q<0 (no nosso exemplo, 1/2). Também sabemos que "n" significa a ordem do último termo (sexto, sétimo, oitavo, etc), que na nossa PG é ∞ (infinito), então com certeza é um número muito grande. Quanto você acha que vale 1/2 elevado a um expoente muito grande?
Exemplo:	Veja que o denominador da fração é o 2 elevado a potência mil, ou seja, essa potência é muito grande, o que faz a divisão de 1 por esse número muito grande resultar um número extremamente pequeno, insignificante. Podemos dizer que é ZERO. E ao substituirmos na fórmula, a razão elevado na "n" (qn), por ZERO, temos:
	Chegamos em uma fórmula que é um tanto quanto "bonitinha". Mas para melhorá-la, vamos multiplicar "em cima" e "em baixo" da divisão por -1
	Agora chegamos na fórmula final da soma dos termos de uma PG infinita. Tente resolver o exercício abaixo e depois veja a resolução.

1) Dada a PG com a₂=5 e q=2/5, calcule a soma dos infinitos termos.

- Primeiro temos que calcular o valor de a₁. Para isso vamos usar a fórmula do termo geral:

- Agora é só colocar na fórmula da soma:





Referência: http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/progressoes/progressao_geometrica/progressao_geometrica_05_infinita_soma_dos_termos.php

Soma dos termos de uma PG Finita

Assim como a Progressões Aritméticas, existem também exercícios que pedem para calcular a soma dos termos de uma PG. Este também pode ser calculado manualmente, mas quando for pedido um número muito alto de termos usamos uma fórmula.
Esta fórmula é um pouco menos "intuitiva" do que a fórmula da PA. Portanto, é um pouco mais difícil de se entender de onde vem, mas preste atenção na demonstração, que não é impossível.
Para representarmos a soma dos "n" primeiros termos, usamos a sigla S_n. Então:

Sn=a1+a2+a3+a4+a5+...+an	Isto é o que queremos determinar, agora multiplicamos ambos os lados pela razão (q).
Sn*q = (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ... + an) * q Sn*q = a1*q + a2*q + a3*q + a4*q + a5*q + ... + an*q	Sabemos que se o número for multiplicado pela razão, passa a ser o próximo, exemplo: a1*q=a2
Sn*q = a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + ... + an+1	Agora vamos subtrair Sn de ambos os lados
Sn*q - Sn = a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + ... + an+1 - Sn Sn*q - Sn = a2 + a3 + a4 + ... + an+1 - (a1 + a2 + a3 + ... + an) Sn*q - Sn = a2 + a3 + a4 + ... + an+1 - a1 - a2 - a3 - ... - an Sn*q - Sn = an+1 - a1	Sabemos que an+1=a1*qn , substituindo, temos:
Sn*q-Sn=a1*qn-a1	Colocando Sn e a1 em evidência, temos:
Sn(q-1)=a1(qn-1)	Agora isolando Sn :
	Esta é a fórmula da soma dos "n" primeiros termos de uma PG. Tente agora fazer o exercício abaixo e depois veja a resolução.

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Referência: http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online
 

Soma dos termos de uma PA

Observe quanto vale a soma do primeiro com o último termo desta PA:

Agora, veja a soma do segundo com o penúltimo:

E a soma do terceiro com o antepenúltimo, do quarto com o antes do antepenúltimo ...

Note, que a soma 20 apareceu exatamente 5 vezes. Ao invés de somar termo a termo, poderíamos somar 5 vezes o 20, ou seja, 5x20=100 (mesmo resultado).

Agora, pense!!! Por que que apareceu cinco vezes a soma = 20?????

Isto mesmo, pois tínhamos 10 termos, e como pegamos eles de 2 em 2, é óbvio que a soma iria aparecer um número de vezes igual a metade do número de termos!

E agora, se fosse uma progressão com 100 elementos? Deveríamos proceder da mesma maneira!
A soma do primeiro com o último iria se repetir por 50 vezes (metade de 100), portanto, matematicamente falando teríamos:

S₁₀₀=(a₁+a₁₀₀).50

Para concluir. Se tivéssemos que calcular a soma dos elementos de uma PA com "n" termos?  A soma do primeiro com o último iria se repetir por n/2 vezes. Ou seja, podemos escrever: