OBMEP 2011

Pessoal, vou deixar indicado o link do site da OBMEP logo abaixo. Nele vocês poderão conferir todas as provas já realizadas com suas respectivas soluções em PDF. Vocês são do NÍVEL 3. Ah! Não se esqueçam de que a prova será realizada no dia 17 de Agosto de 2011.

 http://www.obmep.org.br/provas.htm

Abraços a todos vocês e Boa Sorte!!!

Ilusão de Óptica

Olhe fixamente para o ponto central e a sombra desaparecerá.

Olhe fixamente e os pontinhos coloridos desaparecem enquanto o espiral gira. 

Parece que se move né? 

 

Nada se avolumando aqui.

Soma dos termos de uma PG Infinita

 Quando temos uma PG decrescente (0<q<1) podemos dizer que esta tem infinitos termos.
- Ué? Como assim?
Veja no exemplo a PG de primeiro termo igual a 4 e razão q=1/2:

Note que a cada termo que passa vai diminuindo mais e mais, chegando quase perto de zero. O termo a₁₂ que vale 1/512 passando para decimais vale quase 0,002, e o termo a₁₃ é mais ou menos 0,001, quanto mais alta a ordem do termo mais perto de zero ele chega, passando a ser insignificante na soma final.
Por isso que podemos fazer a soma de todos os termos desta PG, mesmo ela tendo um número infinito de termos.
Vamos fazer a dedução da fórmula começando com a fórmula da soma dos "n" primeiros termos:

	Sabemos que a razão de uma PG infinita tem que ser 1<q<0 (no nosso exemplo, 1/2). Também sabemos que "n" significa a ordem do último termo (sexto, sétimo, oitavo, etc), que na nossa PG é ∞ (infinito), então com certeza é um número muito grande. Quanto você acha que vale 1/2 elevado a um expoente muito grande?
Exemplo:	Veja que o denominador da fração é o 2 elevado a potência mil, ou seja, essa potência é muito grande, o que faz a divisão de 1 por esse número muito grande resultar um número extremamente pequeno, insignificante. Podemos dizer que é ZERO. E ao substituirmos na fórmula, a razão elevado na "n" (qn), por ZERO, temos:
	Chegamos em uma fórmula que é um tanto quanto "bonitinha". Mas para melhorá-la, vamos multiplicar "em cima" e "em baixo" da divisão por -1
	Agora chegamos na fórmula final da soma dos termos de uma PG infinita. Tente resolver o exercício abaixo e depois veja a resolução.

1) Dada a PG com a₂=5 e q=2/5, calcule a soma dos infinitos termos.

- Primeiro temos que calcular o valor de a₁. Para isso vamos usar a fórmula do termo geral:

- Agora é só colocar na fórmula da soma:





Referência: http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/progressoes/progressao_geometrica/progressao_geometrica_05_infinita_soma_dos_termos.php

Soma dos termos de uma PG Finita

Assim como a Progressões Aritméticas, existem também exercícios que pedem para calcular a soma dos termos de uma PG. Este também pode ser calculado manualmente, mas quando for pedido um número muito alto de termos usamos uma fórmula.
Esta fórmula é um pouco menos "intuitiva" do que a fórmula da PA. Portanto, é um pouco mais difícil de se entender de onde vem, mas preste atenção na demonstração, que não é impossível.
Para representarmos a soma dos "n" primeiros termos, usamos a sigla S_n. Então:

Sn=a1+a2+a3+a4+a5+...+an	Isto é o que queremos determinar, agora multiplicamos ambos os lados pela razão (q).
Sn*q = (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ... + an) * q Sn*q = a1*q + a2*q + a3*q + a4*q + a5*q + ... + an*q	Sabemos que se o número for multiplicado pela razão, passa a ser o próximo, exemplo: a1*q=a2
Sn*q = a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + ... + an+1	Agora vamos subtrair Sn de ambos os lados
Sn*q - Sn = a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + ... + an+1 - Sn Sn*q - Sn = a2 + a3 + a4 + ... + an+1 - (a1 + a2 + a3 + ... + an) Sn*q - Sn = a2 + a3 + a4 + ... + an+1 - a1 - a2 - a3 - ... - an Sn*q - Sn = an+1 - a1	Sabemos que an+1=a1*qn , substituindo, temos:
Sn*q-Sn=a1*qn-a1	Colocando Sn e a1 em evidência, temos:
Sn(q-1)=a1(qn-1)	Agora isolando Sn :
	Esta é a fórmula da soma dos "n" primeiros termos de uma PG. Tente agora fazer o exercício abaixo e depois veja a resolução.

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Referência: http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online
 

Soma dos termos de uma PA

Observe quanto vale a soma do primeiro com o último termo desta PA:

Agora, veja a soma do segundo com o penúltimo:

E a soma do terceiro com o antepenúltimo, do quarto com o antes do antepenúltimo ...

Note, que a soma 20 apareceu exatamente 5 vezes. Ao invés de somar termo a termo, poderíamos somar 5 vezes o 20, ou seja, 5x20=100 (mesmo resultado).

Agora, pense!!! Por que que apareceu cinco vezes a soma = 20?????

Isto mesmo, pois tínhamos 10 termos, e como pegamos eles de 2 em 2, é óbvio que a soma iria aparecer um número de vezes igual a metade do número de termos!

E agora, se fosse uma progressão com 100 elementos? Deveríamos proceder da mesma maneira!
A soma do primeiro com o último iria se repetir por 50 vezes (metade de 100), portanto, matematicamente falando teríamos:

S₁₀₀=(a₁+a₁₀₀).50

Para concluir. Se tivéssemos que calcular a soma dos elementos de uma PA com "n" termos?  A soma do primeiro com o último iria se repetir por n/2 vezes. Ou seja, podemos escrever:

Mensagem PÁSCOA

Diversão

Diversão

Curiosidade:

 

          Basta clicar neste link:  http://kardini.fateback.com/telepatiav.htm

 

 

Clique no link abaixo e veja que interessante...
http://www.divertudo.com.br/magica.htm

 

Pessoal, façam o teste e comentem se 

dá certo mesmo...